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In der ist eine '''Funktion''' () oder '''Abbildung''' eine Beziehung () zwischen zwei , die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, <math>x</math>-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, <math>y</math>-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem , Skalar- und er, , , und vieles mehr.

Begriffsgeschichte

Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei , ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch ''Introductio in analysin infinitorum'' den Funktionsbegriff weiter.

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder ?analytische Ausdruck? in <math>x</math> eine Funktion dar, zum anderen wird <math>y(x)</math> im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus ?analytischer Ausdruck? um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise <math>f(x)</math> ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der , bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner ''Théorie des fonctions analytiques'' festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der '''' und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch in seinem 1822 erschienenen Buch ''Théorie analytique de la chaleur.'' Ähnliches formuliert 1823 in ''Résumé des leçons ? sur le calcul infinitésimal.''

Als die 1870 in ''Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen.'' Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion <math>f</math> und dem Funktionswert <math>f(x)</math> an der Stelle <math>x</math> unterschieden.

, und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen ?klassischer? Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch ?geschlossene? Formeln, d. h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich en unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit ''Transformation'' auch die Begriffe ''Bewegung'' und ''Abbildung'' gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe ''Funktion'' und ''Abbildung'' als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen (<math>\R</math> bzw. <math>\Complex</math>) oder auch davon (<math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math>), andererseits ist es in der gebräuchlich, von zu sprechen.

Weitere Synonyme für ''Funktion'' in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem in der Analysis, Operation, und (etwas verallgemeinert) in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus '' definiert.

Definition

Grundidee

Eine Funktion <math>f</math> ordnet ''jedem'' <math>x</math> einer <math>D</math> ''genau ein'' Element <math>y</math> einer <math>Z</math> zu.

Schreibweise:
<math>f\colon\, D\to Z,\; x\mapsto y</math>,   oder auch äquivalent:   <math>f\colon\, \begin{cases} D\to Z \\ x\mapsto y\end{cases}</math>

Für das dem Element <math>x \in D</math> zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen <math>f(x)</math>.

Anmerkungen:
  • Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann genau einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein, in letzterem Fall gehört es nicht zur {{nowrap|. oder <math>\operatorname{Abb}(D,Z)</math> wird die Menge aller Abbildungen von <math>D</math> nach <math>Z</math> bezeichnet:
    <math>Z^D := \{f \mid f\colon D \to Z\}</math>
    Für die gilt:
    <math>|Z^D| = |Z|^{|D|}</math>

    Operationen

    Einschränkung

    Die Einschränkung einer Funktion <math>f \colon A \to B</math> auf eine Teilmenge <math>C</math> der Definitionsmenge <math>A</math> ist die Funktion <math>f|_C \colon C \to B</math>, deren Graph durch

    <math>G_{f|_C} = G_f \cap (C\times B) = \{(x,y) \in G_f \mid x \in C\}</math>

    gegeben ist.

    Umkehrfunktion

    Zu jeder bijektiven Funktion <math>f \colon A \to B</math> gibt es eine Umkehrfunktion

    <math>f^{-1} \colon B \to A, \, y \mapsto f^{-1}(y)</math>,

    sodass <math>f^{-1}(y)</math> das eindeutig bestimmte Element <math>x \in A</math> ist, für das <math>f(x) = y</math> gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle <math>x \in A</math>

    <math>f^{-1}(f(x)) = x</math>.

    Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

    Verkettung

    Zwei Funktionen <math>f \colon A \to B</math> und <math>g \colon B \to C</math>, bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

    <math>g \circ f \colon A \to C, \, x \mapsto (g \circ f)(x) = g(f(x))</math>

    gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt, bei <math>g \circ f</math> wird zuerst die Funktion <math>f</math> angewandt und dann die Funktion <math>g</math>. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math>(f \circ g)(x) = g(f(x))</math> geschrieben.

    Verknüpfung

    Ist auf der Zielmenge <math>B</math> eine <math>* \colon B \times B \to B</math> gegeben, so lässt sich auch für Funktionen <math>f,g \in B^A</math> eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

    <math>f*g \colon A \to B, \, x \mapsto (f*g)(x) = f(x) * g(x)</math>.

    Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und . Weiter lässt sich mit Hilfe einer der Form <math>* \colon C \times B \to B</math> auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus <math>C</math> definieren:

    <math>c*f \colon A \to B, \, x \mapsto (c*f)(x) = c * f(x)</math>

    Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem . Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form <math>f*c</math> definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge, als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

    Weitere Eigenschaften

    Algebraische Eigenschaften

    • Eine Funktion ist , wenn <math>f\circ f = f</math> ist, d. h. <math>f(f(x)) = f(x)\,</math> für alle Elemente <math>x</math> der Definitionsmenge gilt.
    • Sie ist eine , wenn <math>f\circ f = \operatorname{id}</math> ist, also <math>f(f(x)) = x\!\,</math> für alle Elemente <math>x</math> der Definitionsmenge gilt.
      • Die <math>x\mapsto x</math> erfüllt natürlich diese Bedingung, wird aber in seltenen Fällen dennoch nicht als Involution angesehen.
    • Ein '''' ist ein Element <math>a</math> der Definitionsmenge von <math>f</math>, für das <math>f(a) = a</math> gilt.

    Analytische Eigenschaften

    Spezielle Funktionen

    • , die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge der liegt
    • , die sich dadurch auszeichnet, dass ihre Zielmenge der liegt
    • Homogene bezüglich der Addition
    • Allgemeine
    • )
    • en; auch ganzrationale Funktion: allg. beschrieben durch <math>f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_1x + a_0</math> oder <math>f(x) = \textstyle\sum_{i=0}^n a_ix^i</math>
    • ; gebrochen-rationale Funktion: Quotient zweier Polynom-Funktionen, <math>f(x) = g(x)/h(x)</math>
    • en und Wurzelausdrücke
    • und

    Verwendung

    Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

    Mengen können beispielsweise durch sogenannte strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere , dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form <math>f\colon\, A\times A \rightarrow A</math>. Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild <math>*(x,y)</math> eines Paares <math>(x,y)</math> unter einer Verknüpfung <math>*</math> üblicherweise in der Form <math>x*y</math> geschrieben.

    Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind , und Strukturen, wie beispielsweise e, und .

    Verallgemeinerungen

    Multifunktionen

    Eine (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge <math>X</math> können auf mehrere Elemente der Zielmenge <math>Y</math> abgebildet werden. Man schreibt auch <math>f\colon X\multimap Y</math>.

    Wenn <math>Y</math> eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion <math>f\colon X\multimap Y</math> auch als eine Funktion <math>\kappa_f</math> darstellen, die in die Potenzmenge von <math>Y</math> geht: <math>\kappa_f\colon X \rightarrow \mathcal P(Y), \ x \mapsto \{y\in{Y}|(x,y) \in G_f\}</math>. 

    Partielle Funktionen

    Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der , man spricht auch von einer ?nicht überall definierten Funktion? oder ??. Hier darf es Elemente der Quellmenge (<math>x</math>-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (<math>y</math>-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen <math>x</math>-Wert nicht mehr als einen <math>y</math>-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

    Die Menge <math>[D \rightharpoonup Z]</math>
    |}

    Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

    Literatur

    • : ''Einführung in die Mengenlehre.'' 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
    • : ''Naive Mengenlehre'' (= ''Moderne Mathematik in elementarer Darstellung.'' Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
    • : ''Allgemeine Mengenlehre.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
    • Adolf P. Youschkevitch: ''The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century.'' In: ''Archive of the History of Exakt Sciences.'' 16 Springer Verlag, Berlin 1976.

    Weblinks

    Einzelnachweise und Anmerkungen