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Die '''Mathematik''' ( untersucht.

Geschichte

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der in , und , später in der Antike in Griechenland und im . Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des ?rein logischen Beweisens? und die erste , nämlich die . Im überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen führte Variablen ein, eröffnete durch die Verwendung von n einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Betrachtung von Änderungsraten (en) sowie die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten (?Quadratur?) führten zur von und . und sein waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender ''mathematischer'' Probleme wie des s.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen. Zu dessen Behandlung entwickelten und den Begriff der , der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere und insbesondere die angesehen werden.

Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen und im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab. Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Die neuen Ideen und Verfahren eroberten viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kam es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff ?Wahrscheinlichkeit? explizit zu definieren, gelangen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von s Lehrbuch ''Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung'' im Jahr 1933 schloss die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab, siehe dazu auch ''.''

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von und ihre heutige . Die von gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stand unter dem Einfluss von s . Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte die Grundlagen der modernen Algebra, die allgemeine als die Untersuchung , den wohl wichtigsten Begriff der , den nach ihm benannten . Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der durch und .

Inhalte und Methodik

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen:
  • das Rechnen mit en ( ? ),
  • die Untersuchung von Figuren ( ? , ),
  • das Auflösen von en ( ? , und , ),
  • die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen ( ? ) (teilweise nur zur Philosophie, oft aber auch zur Mathematik gezählt)
  • Untersuchungen zur ( ? Euklid, , , , , ),
  • das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen ( ? , 17. Jahrhundert),
  • das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten ( ? , , , 17.?),
  • die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, des Verhaltens im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven ( ? , , Ende des 17. Jahrhunderts),
  • die Beschreibung (en, en,  ? , die , , Gauß, , , , , , 18.?19. Jahrhundert),
  • die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung ( ? Gauß, , , 19. Jahrhundert),
  • die Geometrie gekrümmter Flächen und Räume ( ? Gauß, Riemann, , 19. Jahrhundert),
  • das systematische Studium von Symmetrien ( ? , , , , 19. Jahrhundert),
  • die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen ( und  ? , , , , , Anfang des 20. Jahrhunderts),
  • die stetige Verformung geometrischer Körper ( ? Cantor, , , , , Anfang des 20. Jahrhunderts),
  • die Untersuchung von Strukturen und Theorien (, ),
  • die Erhebung und Auswertung von Daten ().
  • diskrete endliche oder abzählbar unendliche Strukturen (, ,  ? Euler, , , ) mit engen Beziehungen zur .

Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die , die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.

Unterschieden werden ferner die '''reine Mathematik,''' auch als '''theoretische Mathematik''' bezeichnet, die sich nicht mit außermathematischen Anwendungen befasst, und die '''' wie zum Beispiel und . Die Übergänge der eben genannten Gebiete sind fließend.

Fortschreiten durch Problemlösen

Kennzeichnend für die Mathematik ist weiterhin die Weise, wie sie durch das Bearbeiten von ?eigentlich zu schweren? Problemen voranschreitet.

Sobald ein definiert ist, kann man auch die Frage stellen: ''?Was ist 3 minus 5??,'' die auf eine negative Zahl und damit bereits über die Grundschulmathematik hinaus führt.

Ebenso wie in diesem elementaren Beispiel beim individuellen Erlernen ist die Mathematik auch in ihrer Geschichte fortgeschritten: auf jedem erreichten Stand ist es möglich, wohldefinierte Aufgaben zu stellen, zu deren Lösung weitaus anspruchsvollere Mittel nötig sind. Oft sind zwischen der Formulierung eines Problems und seiner Lösung viele Jahrhunderte vergangen und ist mit der Problemlösung schließlich ein völlig neues Teilgebiet begründet worden: so konnten mit der im 17. Jahrhundert Probleme gelöst werden, die seit der Antike offen waren.

Auch eine negative Antwort, der Beweis der Unlösbarkeit eines Problems, kann die Mathematik voranbringen: so ist aus gescheiterten Versuchen zur Auflösung algebraischer Gleichungen die Gruppentheorie entstanden.

Axiomatische Formulierung und Sprache

Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts, vereinzelt schon seit der , wird die Mathematik in Form von n präsentiert, die mit Aussagen beginnen, welche als wahr angesehen werden; daraus werden dann weitere wahre Aussagen hergeleitet. Diese Herleitung geschieht dabei nach genau festgelegten n. Die Aussagen, mit denen die Theorie anfängt, nennt man ''e,'' die daraus hergeleiteten nennt man ''.'' Die Herleitung selbst ist ein '''' des Satzes. In der Praxis spielen noch en eine Rolle, durch sie werden mathematische Begriffe durch Rückführung auf grundlegendere eingeführt und präzisiert. Aufgrund dieses Aufbaus der mathematischen Theorien bezeichnet man sie als ''axiomatische Theorien.''

Üblicherweise verlangt man dabei von Axiomen einer Theorie, dass diese widerspruchsfrei sind, also dass nicht gleichzeitig ein Satz und die Negation dieses Satzes wahr sind. Diese Widerspruchsfreiheit selbst lässt sich aber im Allgemeinen nicht innerhalb einer mathematischen Theorie beweisen (dies ist abhängig von den verwendeten Axiomen). Das hat zur Folge, dass etwa die Widerspruchsfreiheit der , die fundamental für die moderne Mathematik ist, nicht ohne Zuhilfenahme weiterer Annahmen beweisbar ist.

Die von diesen Theorien behandelten Gegenstände sind abstrakte mathematische Strukturen, die ebenfalls durch Axiome definiert werden. Während in den anderen en die behandelten Gegenstände vorgegeben sind und danach die Methoden zur Untersuchung dieser Gegenstände geschaffen werden, ist bei der Mathematik umgekehrt die Methode vorgegeben und die damit untersuchbaren Gegenstände werden erst danach erschaffen. In dieser Weise nimmt und nahm die Mathematik immer eine Sonderstellung unter den Wissenschaften ein.

Die Weiterentwicklung der Mathematik geschah und geschieht dagegen oft durch Sammlungen von Sätzen, Beweisen und Definitionen, die nicht axiomatisch strukturiert sind, sondern vor allem durch die Intuition und Erfahrung der beteiligten Mathematiker geprägt sind. Die Umwandlung in eine axiomatische Theorie erfolgt erst später, wenn weitere Mathematiker sich mit den dann nicht mehr ganz so neuen Ideen beschäftigen.

 zeigte um 1930 den nach ihm benannten , der besagt, dass es in jedem  klassischer Logik, das erlaubt, gewisse Aussagen �ber nat�rliche Zahlen zu beweisen, entweder Aussagen gibt, die ebenso wenig wie ihre Negation beweisbar sind, oder aber das System selbst widerspr�chlich ist.

Mathematik benutzt zur Beschreibung von Sachverhalten eine sehr kompakte Sprache, die auf Fachbegriffen und vor allem Formeln beruht. Eine Darstellung der in den Formeln benutzten Zeichen findet sich in der . Eine Besonderheit der '''mathematischen Fachsprache''' besteht in der Bildung von aus Mathematikernamen abgeleiteten en wie , euklidisch, , , und .

Anwendungsgebiete

Die Mathematik ist in allen Wissenschaften anwendbar, die ausreichend sind. Daraus ergibt sich ein enges Wechselspiel mit Anwendungen in empirischen Wissenschaften. Über viele Jahrhunderte hinweg hat die Mathematik Anregungen aus der , der , der und der aufgenommen und umgekehrt die Grundlagen für den Fortschritt dieser Fächer bereitgestellt. Beispielsweise hat Newton die entwickelt, um das physikalische Konzept ?Kraft gleich Impulsänderung? mathematisch zu fassen. Solow entwickelte ein des Wachstums einer Volkswirtschaft, das bis heute die Grundlage der neoklassischen Wachstumstheorie bildet. Fourier hat beim Studium der die Grundlage für den modernen gelegt und Gauß hat im Rahmen seiner Beschäftigung mit Astronomie und Landvermessung die entwickelt und das Lösen von linearen Gleichungssystemen systematisiert. Aus der anfänglichen Untersuchung von Glücksspielen ist die heute allgegenwärtige Statistik hervorgegangen.

Umgekehrt haben Mathematiker zuweilen Theorien entwickelt, die erst später überraschende praktische Anwendungen gefunden haben. So ist zum Beispiel die schon im 16. Jahrhundert entstandene Theorie der zur mathematischen Darstellung des inzwischen unerlässlich geworden. Ein weiteres Beispiel ist der ielle en­kalkül, den für die mathematische Formulierung der verwendet hatte. Des Weiteren galt die Beschäftigung mit der lange Zeit als intellektuelle Spielerei ohne praktischen Nutzen, ohne sie wären heute allerdings die moderne und ihre vielfältigen Anwendungen im Internet nicht denkbar.

Verhältnis zu anderen Wissenschaften

Kategorisierung der Mathematik

Über die Frage, zu welcher Kategorie der Wissenschaften die Mathematik gehört, wird seit langer Zeit kontrovers diskutiert.

Viele mathematische Fragestellungen und Begriffe sind durch die Natur betreffende Fragen motiviert, beispielsweise aus der oder den en, und die Mathematik wird als Hilfswissenschaft in nahezu allen Naturwissenschaften herangezogen. Jedoch ist sie selbst keine im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen. Dennoch wird in der neueren davon ausgegangen, dass auch die Methodik der Mathematik immer mehr derjenigen der Naturwissenschaft entspricht. Im Anschluss an wird eine ?Renaissance des Empirismus? vermutet, wonach auch Mathematiker Hypothesen aufstellen und für diese Bestätigungen suchen.

Die Mathematik hat methodische und inhaltliche Gemeinsamkeiten mit der ; beispielsweise ist die ein Überschneidungsbereich der beiden Wissenschaften. Damit könnte man die Mathematik zu den en rechnen, aber auch die Einordnung der Philosophie ist umstritten.

Auch aus diesen Gründen kategorisieren einige die Mathematik ? neben anderen Disziplinen wie der ? als bzw. .

An deutschen en gehört die Mathematik meistens zur selben wie die Naturwissenschaften, und so wird Mathematikern nach der in der Regel der eines Dr. rer. nat. (Doktor der Naturwissenschaft) verliehen. Im Gegensatz dazu erreicht im englischen Sprachraum der Hochschulabsolvent die Titel ?Bachelor of Arts? bzw. ?Master of Arts?, die eigentlich an Geisteswissenschaftler vergeben werden.

Sonderrolle unter den Wissenschaften

Eine Sonderrolle unter den Wissenschaften nimmt die Mathematik bezüglich der Gültigkeit ihrer Erkenntnisse und der ihrer Methoden ein. Während beispielsweise alle naturwissenschaftlichen Erkenntnisse durch neue Experimente werden können und daher prinzipiell vorläufig sind, werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht überprüfbar zu sein. Dafür muss aber für mathematische Erkenntnisse ein streng logischer gefunden werden, bevor sie als anerkannt werden. In diesem Sinn sind mathematische Sätze prinzipiell endgültige und allgemeingültige Wahrheiten, sodass die Mathematik als ''die'' exakte Wissenschaft betrachtet werden kann. Gerade diese Exaktheit ist für viele Menschen das Faszinierende an der Mathematik. So sagte David Hilbert auf dem 1900 in Paris:

{{Zitat

 |Text=Wir er�rtern noch kurz, welche berechtigten allgemeinen Forderungen an die L�sung eines mathematischen Problems zu stellen sind: ich meine vor allem die, da� es gelingt, die Richtigkeit der Antwort durch eine endliche Anzahl von Schl�ssen darzutun, und zwar auf Grund einer endlichen Anzahl von Voraussetzungen, welche in der Problemstellung liegen und die jedesmal genau zu formulieren sind. Diese Forderung der logischen Deduktion mittels einer endlichen Anzahl von Schl�ssen ist nichts anderes als die Forderung der Strenge in der Beweisf�hrung. In der Tat, die Forderung der Strenge, die in der Mathematik bekanntlich von sprichw�rtlicher Bedeutung geworden ist, entspricht einem allgemeinen philosophischen Bed�rfnis unseres Verstandes, und andererseits kommt durch ihre Erf�llung allein erst der gedankliche Inhalt und die Fruchtbarkeit des Problems zur vollen Geltung. Ein neues Problem, zumal, wenn es aus der �u�eren Erscheinungswelt stammt, ist wie ein junges Reis, welches nur gedeiht und Fr�chte tr�gt, wenn es auf den alten Stamm, den sicheren Besitzstand unseres mathematischen Wissens, sorgf�ltig und nach den strengen Kunstregeln des G�rtners aufgepfropft wird.
 |ref=<ref name="Hilbert1900">: 

 vom  bezeichnete die Mathematik als die Mutter aller Wissenschaften.

{{Zitat
 |Text=Ich behaupte aber, da� in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden k�nne, als darin Mathematik anzutreffen ist.
 |Autor=Immanuel Kant
 |Quelle=, A VIII ? (1786)}}

Die Mathematik ist daher auch eine kumulative Wissenschaft. Man kennt heute über 2000 mathematische Fachzeitschriften. Dies birgt jedoch auch eine Gefahr: durch neuere mathematische Gebiete geraten ältere Gebiete in den Hintergrund. Neben sehr allgemeinen Aussagen gibt es auch sehr spezielle Aussagen, für die keine echte Verallgemeinerung bekannt ist. schreibt dazu im Vorwort seines Buches ''Concrete Mathematics:''

{{Zitat

 |Text=The course title ?Concrete Mathematics? was originally intended as an antidote to ?Abstract Mathematics?, since concrete classical results were rapidly being swept out of the modern mathematical curriculum by a new wave of abstract ideas popularly called the ?New Math?. Abstract mathematics is a wonderful subject, and there?s nothing wrong with it: It?s beautiful, general and useful. But its adherents had become deluded that the rest of mathematics was inferior and no longer worthy of attention. The goal of generalization had become so fashionable that a generation of mathematicians had become unable to relish beauty in the particular, to enjoy the challenge of solving quantitative problems, or to appreciate the value of technique. Abstract mathematics was becoming inbred and losing touch with reality; mathematical education needed a concrete counterweight in order to restore a healthy balance.
 |Sprache=en
 |�bersetzung=Der Veranstaltungstitel ?Konkrete Mathematik? war urspr�nglich als Gegenpol zur ?Abstrakten Mathematik? gedacht, denn konkrete, klassische Errungenschaften wurden von einer neuen Welle abstrakter Vorstellungen�? gemeinhin ?New Math? (?neue Mathematik?) genannt�? in rasantem Tempo aus den Lehrpl�nen gesp�lt. Abstrakte Mathematik ist eine wunderbare Sache, an der nichts auszusetzen ist: Sie ist sch�n, allgemeing�ltig und n�tzlich. Aber ihre Anh�nger gelangten zu der irrigen Ansicht, dass die �brige Mathematik minderwertig und nicht mehr beachtenswert sei. Das Ziel der Verallgemeinerung kam derma�en in Mode, dass eine ganze Generation von Mathematikern nicht mehr im Stande war, Sch�nheit im Speziellen zu erkennen, die L�sung von quantitativen Problemen als Herausforderung zu begreifen oder den Wert mathematischer Techniken zu sch�tzen. Die abstrakte Mathematik drehte sich nur noch um sich selbst und verlor den Kontakt zur Realit�t; in der mathematischen Ausbildung war ein konkretes Gegengewicht notwendig, um wieder ein stabiles Gleichgewicht herzustellen.}}

Es kommt somit der älteren mathematischen Literatur eine besondere Bedeutung zu.

Der Mathematiker kritisiert die ? seiner Ansicht nach ? zu wenig reflektierte Anwendung der modernen Mathematik:

{{Zitat
 |Text=Man muss sich bewusst machen, dass die Erfassung der Welt durch Mathematik Grenzen hat. Die Annahme, sie funktioniere allein nach mathematischen Gesetzen, f�hrt dazu, dass man nur noch nach diesen Gesetzen Ausschau h�lt. Nat�rlich werde ich sie in den Naturwissenschaften auch finden, doch ich muss mir im Klaren dar�ber sein, dass ich die Welt durch eine Brille hindurch betrachte, die von vornherein gro�e Teile ausblendet. [?] Die mathematische Methode ist l�ngst von Wissenschaftlern fast aller Disziplinen �bernommen worden und wird in allen m�glichen Bereichen angewandt, wo sie eigentlich nichts zu suchen hat. [?] Bedenklich sind Zahlen immer dann, wenn sie zu Normierungen f�hren, obwohl niemand mehr nachvollziehen kann, wie die Zahlen zustande gekommen sind.
 |ref=}}

Mathematik in der Gesellschaft

Das vom (BMBF) seit dem Jahr 2000 jährlich ausgerichtete war 2008 das ''.''

Mathematik in der Schule

Mathematik spielt in der Schule eine wichtige Rolle als . ist die Wissenschaft, die sich mit dem Lehren und Lernen von Mathematik beschäftigt. In den Klassen 5?10 geht es vor allem um das Erlernen von Rechenfertigkeiten. In deutschen Gymnasien werden in der Oberstufe, also ab Klasse 11, dann Differential- und Integralrechnung sowie Analytische Geometrie / Lineare Algebra eingeführt und dazu Stochastik weitergeführt.

Große Verbreitung an Schulen hat der Wettbewerb '''' gefunden: Von 200 Teilnehmern im Jahr 1995 stieg die Anzahl auf 968.000 im Jahr 2019. Es ist ein Multiple-Choice-Wettbewerb mit Aufgaben zum Knobeln, zum Rechnen und zum Schätzen, der vor allem Freude an der Beschäftigung mit Mathematik wecken soll. Die Aufgaben erfordern keine schriftliche Begründung.

Mathematik als Studienfach und Beruf

Menschen, die sich beruflich mit der Entwicklung und der Anwendung der Mathematik beschäftigen, nennt man .

Neben dem Mathematikstudium, in dem man seine Schwerpunkte auf reine und/oder angewandte Mathematik setzen kann, sind in neuerer Zeit vermehrt interdisziplinäre Studiengänge wie , , oder eingerichtet worden. Ferner ist das an weiterführenden n und n ein wichtiger mathematischer Berufszweig. An deutschen Universitäten wurde im Rahmen des es das Diplom auf /-Studiengänge umgestellt. Eine gewisse Anzahl an n in Mathematik müssen auch angehende , , n, , n und e belegen.

Die häufigsten Arbeitgeber für Mathematiker sind , und en, insbesondere im Bereich mathematischer Finanzmodelle und Consulting, aber auch im IT-Bereich. Darüber hinaus werden Mathematiker in fast allen Branchen eingesetzt.

Mathematische Museen und Sammlungen

Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften und auch eine experimentelle Wissenschaft. Diese beiden Aspekte lassen sich durch und historische Sammlungen sehr gut verdeutlichen.

Die älteste Einrichtung dieser Art in Deutschland ist der 1728 gegründete in Dresden. Das in Bonn am dortigen Institut für diskrete Mathematik geht in die 1970er Jahre zurück und beruht auf der Sammlung von Rechengeräten des Mathematikers . Das (Abkürzung ?HNF?) in Paderborn ist das größte deutsche Museum zur Entwicklung der Rechentechnik (insbesondere des Computers). Das in Gießen wurde 2002 von gegründet und wird von ihm laufend weiterentwickelt. Im in Wien befindet sich das von geleitete , welches die Mathematik im Kontext zu Kultur und Zivilisation zeigt.

Darüber hinaus sind zahlreiche Spezialsammlungen an Universitäten untergebracht, aber auch in umfassenderen Sammlungen wie zum Beispiel im in München oder im (Rechner von entwickelt und gebaut).

Aphorismen über Mathematik und Mathematiker (Auswahl)

Folgende bekannter Persönlichkeiten sind zu finden:
  • : ''Die Mathematik handelt ausschließlich von den Beziehungen der Begriffe zueinander ohne Rücksicht auf deren Bezug zur Erfahrung.''
  • : ''Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat.''
  • : ''Die Mathematiker sind eine Art Franzosen: Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes.''
  • : ''Der Mathematiker ist ein Hersteller von Schemata.''
  • : ''Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.''
  • : ''Die ganze Mathematik ist eigentlich eine Gleichung im Großen für die anderen Wissenschaften.''
  • '', Aphorismus Nr. 246.</ref>
  • : ''Mathematik ist die Wissenschaft, bei der man nicht weiß, wovon man spricht, noch ob das, was man sagt, wahr ist.''
  • : ''Die Mathematik ist gleichsam eine sinnliche Logik, sie verhält sich zur Philosophie wie die materiellen Künste, Musik und Plastik, zur Poesie.''
  • : ''Mathematik ist die Musik der Vernunft.''
  • : ''Die Mathematik ist eine Methode der Logik.''

Siehe auch

Literatur

  • : ''Ein Himmel voller Zahlen ? Auf den Spuren mathematischer Wahrheit'', aus dem Englischen von Anita Ehlers, Rowohlt Taschenbuch Verlag GmbH, Reinbek bei Hamburg 1999, ISBN 3-499-19742-1.
  • Jürgen Brater: ''Kuriose Welt der Zahlen'', Eichborn Verlag, Frankfurt/Main 2005, ISBN 3-8218-4888-X.
  • , : ''Was ist Mathematik?'' Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2000, ISBN 3-540-63777-X.
  • : ''Mathematik.'' Deutsche Erstausgabe, aus dem Englischen übersetzt von Jürgen Schröder, Reclam-Verlag, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-15-018706-7.
  • Timothy Gowers (Hrsg.), (Hrsg.), (Hrsg.): ''The Princeton Companion to Mathematics.'' Princeton University Press 2008 (Enzyklopädisch auf einführendem Niveau)
  • , : ''Geschichte der Mathematik.'' 2. Auflage. Oldenbourg, München 1999, ISBN 3-486-11595-2.
  • : ''Ist Gott ein Mathematiker? Warum das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben ist.'' C. H. Beck Verlag, München 2010, ISBN 978-3-406-60595-6.
  • {{Literatur|Autor=|Titel=Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik |Verlag=Vieweg Verlag
   |Ort=Braunschweig |Datum=1990 |ISBN=3-528-28179-0}}

  • {{Literatur |Autor=, |Titel=Von Zahlen und Figuren. Proben mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik
   |Reihe=Heidelberger Taschenb�cher    |BandReihe=50    |Verlag=Springer Verlag    |Ort=Berlin (u.�a.)    |Datum=1968 }}

Weblinks

Portale und Wissensdatenbanken
  • ? mathematische Hintergründe und Lexikon
  • bei
  • ? Portal der DMV zur Mathematik mit vielfältigen Inhalten
  • , Formeln und Aufgaben online lösen
  • ? umfangreiche Mathematikquelle, engl.
Schulmathematik
  • (z. B. )
  • ? Schulwissen der Klassen 1?11
  • ? Mathematikwissen der AHS-Oberstufe (Klassen 9?12)
Software
  • ? ist ein Open-Source-Projekt.
Geschichtliches
  • (Vorlesungsfolien Prof. Blunck, Universität Hamburg)
  • (Bilder berühmter mathematischer Werke)

Einzelnachweise

{{Gesprochene Version
| artikel = Mathematik
| datum = 2020-10-20
| datei = De-Mathematik-article2020.ogg
| länge = 34:07 min
| größe = 28,8 MB
| version = 7718346
| sprecher = hetaremila
| geschlecht = weiblich
| dialekt = Hochdeutsch}}